LOYOLA COLLEGE (AUTONOMOUS), CHENNAI – 600 034SUPPLEMENTARY SEMESTER EXAMINATION – JUN 2006 M.Sc. DEGREE EXAMINATIONMT 2801 – MEASURE AND INTEGRATION
Date & Time : 27/06/2006/9.00 – 12.00 Dept. No. Max. : 100 Marks
ANSWER ALL :-                                                                                                                                                    MARKSI      a  (1)  Define outer measure and show that it is translation invariant (8)                                      (OR)
(2)  State and prove countable sub additive theorem for outer measures.
b  (1)   Prove that there exists a non measurable set                                                                 (17)                                                                                                                               (OR)
(2)   Show that the following statements are equivalent for a set E :                (i)     E is measurable(i)      0 , G an open set ,G  E, such that m(G – E)  , (ii)     G, Gδ  -set, G  E, such that m (G – E) = 0(iii)      0 , F a closed set, F  E, such that m (E – F)   ,(iv)     F, an Fσ–set, F  E, such that m (E – F) = 0 .
II.  a.   (1)   If  is a measurable simple function ,then in the usual notations prove                            (8)  (i)    dx =  aį  m ( A      0 for any measurable set E.
(ii)      dx =   dx +   dx for any disjoint measurable sets A and B.
(iii)      a  dx  = a   dx if a  0.
(OR)
(2)    Let f and g be non negative measurable functions.Then prove                                                             f dx +   g dx =  (f  + g) dx

b.   (1)    State and prove Fatou’s Lemma  for measurable functions                                         (17)                                                                                                        (OR)
(2)     Show that if f  is a non negative  measurable function., then  a sequence               of measurable simple functions such that  (x)     f (x) .                                                                                                                    III   a   (1)   Show that with a usual notations the outer measure  on H(),and the                        (8)           outer measure defined   by  on S(   and  on S  are the same.
(OR)
(2)    Let ‘s’ be a non negative measurable simple function defined on a measure  space                          (X, S ,   ) Define  (E)  =   s d then  is a measure on  (X, S )  and if ‘t’  is another                non negative measurable simple function defined on a measure space              (X, S,  )  then prove that    (s + t) d =  s d +   t d  .                                                                              .                                                               b  (1)     State and prove Holder’s’s inequality for convex functions                                              (17)
(OR)
(2)   (i)   State and prove Jensen’s inequality for convex functions       (8+9)
(ii)  If f, g LP (, are complex numbers then  prove that,
(fg)   LP (  and    (fg)  d =   f d +   g d                                                                                                                               IV.  a  (1)  Show that if  be a sequence of sets in a ring  R then there exisists                      a sequence    of  disjoint sets of  R such that    Bi    Ai for each i and                       A  =    B   for each N ,so that    A i =    Bi  .                                                                        (OR)
(2)   State and prove ‘Egorov’s theorem for almost uniform convergence.
b.       (1)   State and prove ‘Completeness theorem’ for convergence in measure.                            (17)                       .                                                                                                                                                                   (OR)
(2)      (i)    State and prove  Reisz-Fisher’s theorem                                                                   (8+9)
(ii)   State and prove Jordan’s lemma.

Go To Main Page

Latest Govt Job & Exam Updates:

View Full List ...